φ des math.
4) Essence & role des math.
4-1) Origine des notions ou des êtres mathématiques.

Nous avions déjà posé l'existence d'objets ou de notions mathématiques mais sans étudier encore d'une façon explicite leur origine et leur nature. La question est d'importance, elle touche à l'essence même des Mathématiques. Aussi prête-t-elle à controverse notamment dans le conflit de l'Empirisme et du Rationalisme.

Le point de vue empiriste.
exposé

Au regard de l'empirisme, les notions mathématiques sont simplement extraites des données de la perception ; ce sont des copies stylisées et dépouillées jusqu'à l'abstraction des objets ou des figures qui se présentent à nous dans l'intuition sensible. Ainsi : les figures euclidiennes dérivent des formes naturelles, le nombre dérive des collections concrètes observables et l'espace géomé­trique, de l'espace que perçoivent nos sens. Leur naissance s'explique par un travail de schématisation en tous points comparable à celui par lequel les concepts se forment à partir des sensations, des images et des souvenirs. Les notions mathé­matiques sont précisément des concepts qui ont eu à l'origine un contenu sensible ou imagé.

discussion

Si l'origine concrète des notions mathématiques paraît valable aussi longtemps qu'on s'en tient aux formes élémentaires de la Géométrie et de l'Arithmétique (figures simples, nombres naturels), il semble plus difficile sinon impossible d'y croire dès qu'on s'élève au niveau de l'Algèbre et de la Géométrie supérieures. Comment soutenir, avec vraisemblance, que les nombres imaginaires, les équations complexes, les hyperespaces dérivent de l'intuition sensible ?

Le point de vue rationaliste.
exposé

Pures créations de l'esprit, les notions mathématiques sont tirées de la substance même de la raison. Elles ont un caractère a priori, idéal ou irréel et ne sont rien en dehors de ce mouvement de la pensée qui leur donne l'être. Rien ne leur correspond exactement dans le monde extérieur. Sans parler des mathématiques supérieures que leur degré d'abstraction soustrait à l'explication empiriste, on peut montrer que le nombre, la figure, la droite n'existent pas dans le réel et ne peuvent en conséquence être objets de perception, en raison même de leur perfection rationnelle. On est porté à croire le contraire en vertu de l'évidence sensible qu'on a longtemps prêtée à la géométrie euclidienne ou à l'arithmétique élémentaire alors qu'elles sont en fait solidaires d'une axiomatique conçue par l'esprit. Tout ce que l'intuition sensible peut faire, en ce domaine, c'est de nous suggérer certaines formes ou certains rapports qui n'accéderont à la dignité mathématique que par l'effet d'une activité constructive rationnelle.
En tant qu'objets d'intuition, les êtres mathématiques sont vus dans l'intuition rationnelle et non dans l'intuition sensible. Certes nous percevons la droite, le cercle, le triangle ou même l'équation mais nous pensons essentiellement à leurs propriétés abstraites. Les figures pourraient être mal tracées sans que rien fût changé à leurs propriétés géométriques intrinsèques. C'est le sens qu'il faut donner à la fameuse boutade : la géométrie est l'art de raisonner juste sur des figures fausses. En voyant la figure sensible nous regardons ou visons à travers elle la figure intelligible par un acte d'intuition rationnelle. Le sensible n'est jamais que le support ou la figuration de l'intelligible, il est ce par quoi un objet tout abstrait prend existence sur le plan perceptif où il se trouve projeté. Projection qui serait inutile si l'entendement supportait un tel degré de contention qu'il pût se passer de recourir à l'image.

discussion

A la thèse rationaliste, deux sortes de difficultés peuvent être opposées.

Les paragraphes suivants ont pour objet de répondre à ces questions.

Copyright La taverne de faust [http://andani.fr]