φ des math.
3. Raisonnement et démonstration
3-1) Mécanisme et propriétés de la démonstration.

Parler mathématiques c'est évoquer irrésistiblement la vertu de la démonstration qui fait leur privilège incomparable. Une démonstration, en général, est une opération discursive destinée à prouver la vérité de sa conclusion par réfé­rence à des propositions reconnues ou admises pour vraies, démontrées à leur tour ou bien indémontrables.
La démonstration est le mode de preuve mathématique. C'est une méthode conduisant la pensée à reconnaître d'une manière indubitable la vérité d'une proposition considéré d'abord comme douteuse, provisoire ou devant être justifiée.
La question se pose de savoir s'il existe plusieurs types de démonstration susceptibles d'être différenciés et de jouer indépendamment l'un de l'autre. On le pense d'ordinaire et l'on distingue :Démonstration analytique. Démonstration synthétique. Démonstration par l'absurde.
Mais nous nous proposons d'établir que la seule démonstration authentique est d'ordre synthétique, c'est pourquoi nous préférerions dès l'abord distinguer plutôt :Procédé analytique. Démonstration synthétique. Procédé dit par l'absurde.

Le procédé analytique.

C'est une démarche qui consiste à remonter de la proposition à démontrer jusqu'à une proposition plus simple déjà admise ou établie et dont on montre qu'elle dérive. Le logicien DUHAMEL écrit : « L'ana­lyse consiste à établir une chaîne de propositions commençant à celle qu'on veut démontrer, finissant à une proposition connue et telle qu'en partant de la première (qui est à démontrer) chacune soit une conséquence nécessaire de celle qui la suit, d'où il résulte que la première est une conséquence de la dernière et se trouve ipso facto vraie comme elle. » Le procédé correspond à la deuxième règle de la méthode cartésienne.
Il est évident que l'analyse, si elle est d'abord indispensable, n’en est pas moins incapable de démontrer à elle seule. Il y faut ajouter la démarche inverse, c'est-à-dire la démarche synthétique.
Le schéma du raisonnement est en effet le suivant. Il s'agit de démontrer (A). Or (A) sera établi si on établit (B) ; puis (B), sera établi si on établit (C), etc... jusqu'à l'évidence ou à un fait mathématique démontré. Une fois cette recherche faite, la démonstration dans toute sa rigueur consistera à dire (C) est vrai d'où (B) d'où (A). Il s'agit bien d'une opération synthétique.

La démonstration synthétique.

Elle consiste à progresser de propositions en propositions jusqu'à la proposition à démontrer qui devra être la conséquence nécessaire des précédentes. « Cette méthode consiste à partir de propositions reconnues vraies, à en déduire d'autres comme leurs consé­quences nécessaires, de celles-ci de nouvelles et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on parvienne à la proposition à démontrer qui se trouve alors reconnue elle-même comme vraie. » (DUHAMEL).
Si l'analyse établit que telle condition est nécessaire c'est à la synthèse de montrer qu'elle est suffisante. Il faut toujours y revenir et c'est pourquoi on est en droit d'avancer qu'il n'y a qu'une seule démonstration authentique, la démonstration synthétique. Le processus correspond à la troisième règle de la méthode cartésienne.
Exemple : le mouvement synthétique est particulièrement net dans la démonstration des théorèmes de DANDELIN, PONCELET et FEUERBACH.

Le procédé dit par l'absurde.

On appelle ainsi un procédé qui consiste à établir la vérité d'une proposition par l'évidente fausseté de l'une des conséquences résultant de sa contradictoire. Ce qui peut consister : 10 à rejeter une proposition en faisant voir qu'elle aboutirait à une conséquence connue pour fausse, ou contraire à l'hypothèse, ou contradictoire en elle-même ; 20 à admettre une proposition en montrant que la nier conduirait à nier des propositions antérieurement admises comme vraies.
En fait ce procédé discursif est mal nommé. Il ne fait pas appel à l’absurdité ; il met en jeu certaines règles de la logique des propositions qui ressortissent la logique formelle.
Le théorème. A la démonstration est liée la notion de théorème. Lorsque par le seul raisonnement on aboutit à une propriété nouvelle, on énonce ce qu'on appelle : un théorème. Le théorème doit être distingué des propositions fondamentales telles que les définitions et les axiomes. Il est le résultat d'un examen attentif d'un ou plusieurs êtres mathématiques dont certaines propriétés sont connues. Cet examen fait découvrir une propriété nouvelle : son énoncé constitue un théorème. Le raisonnement qui établit la vérité du théorème est la démonstration.
On distingue : l'hypothèse, ensemble des propriétés supposées connues de l'objet étudié ; la conclusion, propriété nouvelle de l'objet qui se trouve réalisée quand l'hypothèse est vérifiée (vérification qui est en fait une démonstration).
La démonstration consiste toujours à utiliser les hypothèses pour en tirer une conséquence nouvelle. Le raisonnement consiste soit à utiliser les propriétés connues antérieurement soit les conséquences des définitions et hypothèses particulières à l'objet considéré.
Exemple de théorème arithmétique : la différence de deux nombres n'est pas changée si l'on ajoute un même nombre à chacun d'eux.

Propriétés de la démonstration mathématique.

Quelle que soit son allure la démonstration mathématique est reconnaissable aux qualités suivantes :

La démonstration mathématique est un modèle de preuve, ce qui veut dire non pas que toute preuve doive être d'ordre mathématique, mais qu'il serait bon qu'on s'inspirât de ce modèle quand on prétend prouver. C'est ce que voulait DESCARTES allant jusqu'à démontrer l'existence de Dieu, more geometrico, à la manière des géomètres, selon l'ordre géométrique. A vrai dire il n'y a de vraie démonstration que celle qui est intérieure aux mathématiques ou qui est susceptible de revêtir la forme mathématique.

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