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5) Postulat & Axiome.

Nous allons examiner les divers principes mathématiques.

5-1) La conception classique.

La méthode mathématique ne consiste pas en la seule démonstration. Démontrer c'est s'appuyer sur des principes et s'y référer constamment d'une façon plus ou moins explicite. On a dit que démontrer c'est prouver des propositions en les rattachant à d'autres qui leur servent de principes et par consé­quent de fondement. Le raisonnement mathématique s'appuye sur un certain nombre de propositions fondamentales qui en font la base de l'armature : défini­tions, axiomes, postulats. Leur étude constitue l'épistémologie mathématique.
Naguère encore on avait coutume de différencier nettement ces trois espèces de propositions ou de principes :
La définition : était l'énoncé des propriétés appartenant à un objet mathématique.
L'axiome : une proposition indémontrable mais évidente par elle-même en vertu des lois de la raison et des principes logiques d'identité et de non­contradiction. Ainsi : deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles.
Le postulat : une proposition admise, bien qu'elle ne fût ni démontrée, ni évidente, en vue de construire un édifice mathématique.
Ces concepts ont dû être révisés.

5-2) La nouvelle conception.

Dans les Mathématiques contemporaines ces distinctions ont beaucoup perdu de leur netteté, tout au moins pour l'axiome et le postulat. C'est l'une des conséquences de l'apparition des géométries non-euclidiennes qui ont fait perdre aux postulats d'EUCLIDE le privilège millénaire de l'exclusivité tout en révélant qu'ils étaient radicalement indémontrables. En tant qu'indémontrables les postulats sont assimilés aux axiomes mais, en retour, les axiomes perdent leur qualité d'évidence intrinsèque pour n'être plus que des propositions permettant de construire un système hypothético-déductif. Aucune proposition n'est plus considérée comme évidente par elle-même. Il y a les propositions acceptées sans démonstration et celles qui sont démontrées ou qu'on peut en déduire. On appelle en conséquence axiome une vérité que l'on admet sans chercher à la déduire des vérités admises ou démontrées antérieurement. Le terme postulat en devient synonyme et la distinction tend à s'effacer. Le postulat accède à la dignité d'axiome et l'axiome assume la fonction du postulat. Les axiomes sont des propositions telles qu'on peut en déduire d'autres propositions mais qui ne sont pas en retour déductibles elles-mêmes. Tout effort pour les démontrer les supposerait admis dans cette démonstration même. On se trouve donc en présence de principes premiers et irréductibles mais qui ne sont ni évidents ni absolus puisqu'il sera possible de choisir des axiomes différents et même opposés pour en faire les bases de systèmes mathématiques différents. Telles sont les conclusions de l'Axiomatique contemporaine : les axiomes y perdent leur universalité ration­nelle, ils ne sont plus considérés comme des corollaires des principes logiques et rationnels s'imposant d'une façon universelle et nécessaire.
Certains mathématiciens ont tendance à ne plus distinguer nettement axiome et définitions. Qu'une proposition fondamentale reçoive l'un ou l'autre nom, cela semble dépendre du caractère des axiomes envisagés. Un ensemble d'axiomes forme un système qui peut être ouvert ou fermé. S'il est fermé, c'est-à-dire complet, le système se résume en une proposition qu'on appelle définition.
Nous maintiendrons cependant la différence en voyant dans la définition une proposition qui donne un nom à un objet ou à une propriété.

5-3) Les définitions mathématiques.

Une définition, en général, est une opération qui consiste à déterminer le contenu ou la compréhension d'un concept, c'est aussi l'énoncé qui en résulte. La définition peut se contenter d'exprimer après coup un ensemble de propriétés appartenant à un objet. Elle peut au contraire être créatrice et faire exister un objet en lui conférant une essence, c'est-à-dire des propriétés.
De quelle nature sont les définitions mathématiques ? Pour le savoir il faudrait s'interroger sur la subjectivité des êtres mathématiques par rapport à l'esprit humain. Quelle que soit cependant leur réalité dernière, les définitions mathématiques font exister leurs objets en déterminant leurs propriétés, elles en posent à la fois l'essence et l'existence. En ce sens elles sont créatrices.
De plus les définitions mathématiques sont a priori, qu'elles ne procèdent pas de l'expérience ou qu'elles aient pu s'en affranchir radicalement. Mais ce qu'elles perdent en réalité concrète, elles le gagnent en qualités abstraites : rigueur, exactitude, perfection. Immuables, définitives, soustraites aux contingences de l'expérience, elles sont d'une haute rationalité. Pourtant elles restent libres, comme les axiomes et l'esprit peut forger autant de définitions qu'il le désire pourvu qu'une double condition soit observée : une condition logique de cohérence interne et une condition mathématique de fécondité.

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