φ des math.
1) Monde des mathématiques.
1-1) Etres mathématiques et les sciences.

Parmi les objets de la connaissance, certains sont d'ordre sensible (une pierre une fleur, une étoile), d'autres sont d'ordre intelligible (une idée, un concept, une notion), d'autres encore, tout en paraissant devoir quelque chose au sensible, possèdent des caractères essentiellement intelligibles, relevant en ce sens de la pure raison : ce sont les objets mathématiques qu'on appelle aussi les êtres mathématiques : le point, la droite, le plan, les figures, les nombres, les fonctions. Qu'ils dérivent par abstraction des données de la perception, qu'ils soient tirés par un acte créateur du fond même de l'esprit ou qu'ils s'imposent à nous comme des choses existant en soi, les êtres mathématiques constituent à l'état pur un univers autonome et original qui se suffit à lui-même sans référence obligée à la réalité extérieure et que l'esprit peut contempler dans son propre horizon.

Nous aurons à étudier plus loin l'origine des notions mathématiques et nous inclinerons à croire qu'elles ne procèdent pas de l'expérience extérieure ou en tout cas qu'elles en sont affranchies. Mais qu'il en fût autrement, cela ne changerait rien à leur essence, comme en témoigne ce mot de GOBLOT : « Les Mathématiques sont nées avec l'expérience mais elles n'en sont pas moins indépendantes des faits et n'ont pas besoin pour être vraies que leurs objets soient réels ». Réserve faite pour le terme réel, qui est loin d'être univoque, le texte nous invite, malgré son inspiration empiriste, à faire abstraction du sensible pour apercevoir dans la seule lumière de l'intuition rationnelle l'ensemble des objets qui forment le monde mathématique.

Cet univers, toutefois, il ne suffit pas de le contempler comme quelque chose de tout fait, il ne prend d'existence véritable que par l'activité de la pensée qui l'anime, l'organise, forge des définitions, énonce des axiomes, décrète des opérations, invente et découvre mille rapports entre les objets qui le composent. Les êtres mathématiques ne prennent tout leur sens que par les opérations qu'on effectue sur eux et qui consistent à les ordonner, les combiner, les substituer, les mesurer, les calculer. C'est pourquoi la Mathématique n'est pas seulement la science des objets intelligibles en question mais bien davantage la science de l'ordre, de la mesure et des propriétés de ces objets, l'étude des relations abstraites que l'esprit peut établir entre eux selon certaines règles.
Si divers sont les êtres mathématiques, si diverses également les relations établies entre eux, qu'il est malaisé de donner une définition simple de la Mathématique en général et de son objet fondamental. Disons que c'est la quantité, en précisant qu'il s'agit non pas de la quantité dite concrète, d'ordre sensible ou physique, mais de la quantité abstraite affranchie de la réalité extérieure.

Or la quantité ayant plusieurs aspects, il en résulte une pluralité de sciences que l'on groupe sous le nom générique de Mathématiques. Il y a les sciences du nombre telles que l'Arithmétique et l’Algèbre ; les sciences de l'espace abstrait dont les diverses géométries forment l’essentiel ; les sciences de la synthèse du nombre et de l'espace comme la géométrie analytique ; enfin l'ensemble des mathématiques appliquées telles que le calcul des probabilités et la statistique.
Cette nomenclature ne donne qu'une faible idée de la richesse du monde mathématique mais nous devons nous en contenter ici.
Ce monde est-il finalement homogène ? Les mathématiques modernes n'ont plus l'unité de la construction antique de type euclidien et leur différenciation va si loin que seuls peuvent se comprendre parfaitement les spécialistes s'adonnant aux mêmes recherches sur le même rameau du grand arbre foisonnant. Il semble toutefois qu'on puisse rester fidèle à l'idéal cartésien d'une étude de l'ordre de la mesure et des proportions en général englobant les mathématiques particulières dans la Matheris universalis, la Mathématique universelle.

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